Úvod
Vývoj informačných a počítačových technológií sa v priebehu uplynulých desiatich rokov urýchlil opäť nevídaným tempom. Najväčšie zmeny boli zaznamenané najmä v dvoch oblastiach: cena výpočtovej techniky sa výrazne znížila, pričom súčasne rovnako výrazne vzrástla výpočtová výkonnosť počítačov. V dôsledku takéhoto vývoja dnes už väčšina študentov v celej Európe buď vlastní osobný počítač, alebo má prístup ku kvalitnej výpočtovej technike na svojej univerzite. Učiteľom sa zároveň otvorili nové možnosti organizácie výuky a riadenia vzdelávacieho procesu. Nové príležitosti učiť a učiť sa matematiku s podporou počítačových algebrických systémov sú aj pre študentov omnoho atraktívnejšie. Existuje mnoho spôsobov ako využiť početné výhody poskytované využitím počítačov vo výuke a podporiť tak vzdelávanie v oblasti matematiky.
Prvou zo spomínaných výhod je možnosť vizualizácie. Mnohé z matematických pojmov sa dajú prezentovať omnoho prístupnejšie a zrozumiteľnejšie, ak ich ilustrujeme vhodným obrázkom. Grafické možnosti počítačov dnes poskytujú mnoho rôznych spôsobov, ako vizualizáciu jednoducho vytvoriť a poskytnúť ju študentom. Aj pre študentov samotných je generovanie vlastnej vizualizácie a grafického výstupu pomerne jednoduchou záležitosťou.
Druhou výhodou je možnosť zbaviť sa množstva manuálnych mechanických výpočtov. Často sa stáva, že študenti strácajú prehľad o študovanom kľúčovom pojme, keď sú k jeho objasneniu potrebné mnohé výpočty a úpravy. Vykonávanie týchto výpočtov a úprav sa potom stáva samotným cieľom, namiesto uchopenia pôvodného pojmu s porozumením potrebným matematickým princípom. Pri efektívnom použití môže počítačová technika odstrániť spomínané šumy a umožní používateľovi sústrediť sa na porozumenie princípom a pochopenie pojmov.
Treťou výhodou používania výpočtovej techniky je skutočnosť, že študenti s jej pomocou zvládnu vyriešiť omnoho väčšie množstvo rôznorodých zložitejších (a tým aj omnoho realistickejších) problémov. Iba tí najusilovnejší študenti sa pustia do riešenia sústavy 6-ich lineárnych rovníc manuálnym výpočtom ceruzkou na papieri. Ale s použitím počítačov bude aj riešenie sústavy stoviek rovníc iba obyčajnou rutinnou záležitosťou.
Spomínané tri výhody sa dajú využiť, určite aspoň čiastočne, už pri používaní štandardných softvérov a jednoduchých ukážkových príkladov. Existuje však aj mnoho špeciálnych aplikácií, ktoré využívajú výpočtovú výkonnosť súčasných počítačov na prezentáciu matematiky omnoho komplexnejším spôsobom. Táto rukoväť má za cieľ predstaviť matematické softvérové aplikácie, ktoré sa najčastejšie používajú na pedagogické účely. Mnohé z nich boli pre tieto účely špeciálne vyvinuté. Niektoré boli pôvodne vytvorené pre profesionálnych matematikov, ktorí vo svojej práci potrebovali počítačovú podporu pre zložité symbolické výpočty, či zvládnutie obrovského množstva výpočtov nerealizovateľných človekom v reálnom čase. Napriek tomu sú mnohé z nich ľahko integrovateľné aj vo vzdelávacom procese.
V ideálnom svete by mali mať všetci učitelia voľný prístup k existujúcim matematickým softvérom, aby si ich mohli pre vlastnú potrebu porovnať. V skutočnosti však je z finančných dôvodov neúnosné používať viac ako jeden až dva, okrem tých, ktoré tvorcovia ponúkajú zadarmo. Ponúknutý stručný návod pre prácu, ukážky syntaxe a niekoľko riešených príkladov pomôžu perspektívnym používateľom orientovať sa v možnostiach jednotlivých softvérov a umožní záujemcom o prácu s nimi vybrať si ten, ktorý bude pre ich potreby najvhodnejší.
Kapitola 2 prináša niekoľko všeobecných informácií o nových metódach a spôsoboch výučby matematiky vo veku počítačov, o nových pedagogických problémoch, ktoré informačné a komunikačné technológie vnášajú do predagogického procesu a o možnostiach a výhodách počítačom podporovanej výuky. Prináša celkový prehľad o situácii v európskych krajinách a spôsoboch, ako sa s novou situáciou vyrovnať a nájsť adekvátne didaktické metódy stimulujúce aktívne vzdelávanie a podporujúce optimálne využívanie dostupných technológií a softvérových riešení.
GeoGebra je interaktívny softvérový systém, ktorý je bezplatne dostupný od roku 2001. Autorom projektu je Markus Hohenwarter z Univerzity v Salzburgu, kde sa celý projekt začal a teraz pokračuje na Floride na Atlantic University. Softvér získal niekoľko európskych ocenení za kvalitu. Je napísaný v jazyku Java a je voľne k dispozícii na stiahnutie na stránke www.geogebra.org. Ako napovedá už názov aplikácie, GeoGebra je určená najmä na demonštráciu geometrických a algebrických pojmov, ale dá sa použiť aj na derivovanie a integrovanie funkcií. Okrem výhody, že je dostupná bezplatne, jej použitie je veľmi jednoduché, a jej používatelia majú možnosť prispieť svojimi nápadmi a prezentovať svoje materály na webstránke systému GeoGebra. Komunita používateľov aplikácie GeoGebra, ktorí pravidelne prispievajú na stránku svojimi materiálmi, sústavne narastá. V kapitole 3 sa čitateľ dozvie podrobnosti o stiahnutí, inštalácii a spustení procedúr aplikácie GeoGebra, predstavené sú rôzne ovládacie tlačidlá a nástroje softvéru.
V kapitole 4 je opísaná tvorba jednoduchých apletov systému GeoGebra, konkrétne apletu o úsekovej rovnici priamky a o grafe kvadratickej funkcie.
Počítačový algebrický systém Derive bol vytvorený v sedemdesiatych rokoch minulého storočia a stal sa pomerne osvedčeným výpočtovým prostriedkom silno zastúpeným na školách v mnohých krajinách, najmä v Rakúsku. I keď dnes Derive postupne nahrádza systém TI-Nspire firmy Texas Instruments, ktorý využíva grafické kalkulačky, stále sa používa na mnohých školách a univerzitách. Softvér Derive vznikol v 70-tych rokoch v softvérovej spoločnosti zo sídlom na Honolulu. Spoločnosť odkúpila firma Texas Instruments v roku 1999 s úmyslom integrovať softvér s ich produktom, kalkulačkami. Napriek tomu, že nie je natoľko všestranný ako sú iné väčšie softvérové aplikácie, napr. Maple, Mathematica alebo MATLAB, Derive je schopný vykonávať symbolické algebrické úpravy a ľahko si poradí aj s faktorizáciou veľkých čísel. Skutočnosť, že Derive nie je natoľko všeobecný ako niektoré iné aplikácie, môže byť v istých súvislostiach aj jeho výhodou, napr. v tom zmysle, že sa používa ako úvodný softvér pre uvedenie používateľov do problematiky využívania počítačových algebrických systémov. Kapitola 5 prináša čitateľovi krátky úvod o používaní Derivu, demonštruje jednoduchosť jeho použitia a upozorňuje na mnohé užitočné funkcie. Uvedené príklady využívajú najmä grafické možnosti softvéru a zjednodušovanie lomených algebrických výrazov.
Mathematica je veľmi výkonný matematický nástroj, ktorý bol vyvinutý pre profesionálnych matematikov a výskumných pracovníkov. Dokáže spracovať extrémne veľké množstvo matematických operácií - omnoho viac, než by s najväčšou pravdepodobnosťou prichádzalo do úvahy pre potreby bežného doktoranda. Prirodzeným dôsledkom tejto skutočnosti je vysoká cena softvéru. Existuje niekoľko modifikácií softvéru Mathematica, ktoré pracujú na tom istom princípe ako materský softvér, majú však obmedzené funkcie - a preto nižšiu, prístupnejšiu cenu. Aplikácia Calculus WIZ je výkonným, interaktívnym výpočtárskym softvérovým riešením, ktoré využíva výpočtovú výkonnosť softvéru Mathematica a predstavuje relatívne lacnú a všestrannú softvérovú podporu vo výučbe matematiky, najmä diferenciálneho a integrálneho počtu, a to pre potreby stredných škôl až po univerzity. Táto samostatná aplikácia prichádza so špeciálne upraveným matematickým jadrom na báze technológie softvéru Mathematica. Na technológii softvéru Mathematica je založená aj ďalšia aplikácia Mathematical Explorer, ktorá je kombináciou textu, grafických informácií a matematických vzorcov v jednoduchých súboroch, ktoré sú plne interaktívne a dávajú používateľom možnosť lepšie pochopiť základné matematické pojmy. Mathematical Explorer poskytuje používateľom príležitosť objavovať mnoho zaujímavých skutočností o fyzikálnych a abstraktných javoch a porozumieť im pomocou výpočtov a vizualizácií. Databáza obsahuje aj životopisy významných matematikov minulosti a poskytuje tak učiteľom matematiky množstvo informácii a možností uviesť matematické pojmy ako myšlienky vytvorené reálnymi ľuďmi v historickom kontexte. Kapitola 6 je stručným úvodom do práce s aplikáciami Calculus Wiz a Mathematical Explorer, jednoduchosť práce s oboma je prezentovaná pomocou série ilustráciíí úvodných a obslužných webstránok.
Mathematica CalcCenter je výpočtový softvér, ktorý je kombináciou výkonných výpočtových možností, pomerne jednoduchého intuitívneho pracovného prostredia a interaktívneho komunikačného rozhrania. Jeho cena je dvakrát nižšia ako cena štandardného balíka softvéru Mathematica. Hlavnou výhodou softvéru CalcCenter je 'InstantCalculator', metóda výpočtov využívajúca niektoré špecifické operácie aplikácie Mathematica. Najinovatívnejším prvkom InstantCalculatora je jeho schopnosť produkovať taký istý výstup ako Mathematica, i keď tento nie je implicitne zobrazený, používateľ ho však môže zabezpečiť priamou voľbou formy výstupu. Pomocou množstva grafických informácií sú v kapitole 7 prezentované hlavné funkcie a výhody aplikácie Mathematica CalcCenter. Zdôraznené sú hlavné rozdiely medzi oboma softvérovými balíkmi Mathematica CalcCenter a Mathematica, čo umožní čitateľom rozhodnúť sa, ktorý z nich je vhodnejší pre ich potreby.
webMathematica zabezpečuje interaktívne výpočty a vizualizácie vykonávané na webstránkach, a je integráciou systému Mathematica s najnovšími technológiami web serverov celosvetovej siete www a sématického internetu. Umožňuje používateľom, aj tým, ktorí nepoznajú prostredie systému Mathematica, vykonávať komplexné výpočty priamo na webe, bez toho, aby tento systém vlastnili alebo hlbšie poznali jeho príkazy a funkcie. Tvorcovia súborov sa nemusia starať o zabezpečenie interaktívnej komunikácie so serverom a odstránenie chýb, ktoré zabezpečí systém webMathematica automaticky. Tým sa otvára priestor pre tvorivú prácu, možnosť koncentrovať sa na vlastný obsah stránok a riešenie problémov, nie na detaily implementácie. V kapitole 8 čitatelia nájdu celkový prehľad možností systému webMathematica, na základe ktorého sa môžu rozhodnúť, ktoré z nich prípadne využijú pri tvorbe vlastných webstránok. V kapitole 9 je podrobne opísané konkrétne použitie a tvorba interaktívnych java apletov, na niekoľkých uvedených základných funkčných ukážkach, ktoré sú vhodné pre prácu v počítačovom laboratóriu, alebo pre samostatnú prácu na internete, či formou e-learningu.
Waterloo Maple je kanadská softvérová spoločnosť z mesta Waterloo v štáte Ontario. Jej najznámejším produktom je počítačový algebrický systém Maple. Maple sa stal jedným zo štandardných matematických systémov, ktoré sú dostupné na mnohých univerzitách na celom svete, a rovnako je aj jedným zo štandardných nástrojov používaných v priemysle a finančnom sektore. Kapitola 10 predkladá stručný úvod do práce so systémom Maple, obsahuje opis hlavných funkcií a demonštruje možnosti systému pri práci s racionálnymi a iracionálnymi číslami. Ilustrácie grafického rozhrania poskytujú čitateľovi možnosť zoznámiť sa s prostredím klasických pracovných listov systému Maple.
MATLAB (skratka pre MATrix LABoratory) je numerický softvérový program. Na trhu bol prezentovaný firmou The Maths Works v roku 1984, a odvtedy sa stal jedným z najobľúbenejších matematických systémov, používaným rovnako vo vzdelávaní ako aj v priemysle, a to viac než miliónom používateľov. MATLAB disponuje paletou jednoduchých príkazov na vykonávanie maticových operácií, kresbu grafov funkcií a grafickú interpretáciu dát, implementáciu algoritmov, tvorbu užívateľských rozhraní, a komunikáciu s počítačovými programami v iných jazykoch. Aj keď sa špecializuje na numerické výpočty, k dispozícii je dodatková paleta nástrojov umožňujúca prepojenie so symbolickým výpočtovým systémom Maple, ktorá ho transformuje na plnohodnotný počítačový algebrický systém. Najnovšia verzia systému MATLAB je R2008a, zverejnená 1. marca 2008. Kapitola 11 poskytuje úvodné informácie o softvére MATLAB, ukážky série príkazov - vstupov a výstupov, vrátane niekoľkých príkladov na kresbu grafu funkcie. Väčšina príkladov sa orientuje na lineárnu algebru, vektory a matice, čo je oblasť matematiky, pre ktorú je systém MATLAB obzvlášť vhodný a ľahko aplikovateľný.
Kapitola 12 prináša niekoľko všeobecných rád používateľom počítačových algebrických systémov ako najlepšie využiť ich výhody. Predpokladaná je znalosť základných princípov práce so systémom Maple či Mathematica, ale kapitola je zrozumiteľná aj ako úvodná informácia pre ktorýkoľvek z týchto softvérov. Aj keď je špeciálne venovaná problematike funkcií viac premenných na úrovni univerzitného štúdia, prezentované všeobecne platné myšlienky môžu byť použité v ktorejkoľvek matematickej oblasti pri návrhu kurzu, v ktorom sa počíta s použitím niektorého matematického softvéru.
Problémy s efektívnou reprodukciou matematických znakov a vzorcov na internete pretrvávali mnoho rokov. Html súbory využívali konverziu matematických výrazov do grafickej formy, obrázkov - grafických súborov formátu gif, ktoré sú súčasťou dokumentov prezentovaných webovými prehliadačmi on-line. Tým sa pomerne výrazne líšila kvalita vytlačeného textu obsiahnutého v html dokumente od kvality matematických vzorcov vo forme obrázkov z nízkym rozlíšením. Matematické vzorce vo forme obrázkov na html stránke predstavovali ďalej nepoužiteľnú informáciu, ktorá sa nedala reprodukovať, nebola nositeľkou sémantickej informácie a nedala sa vložiť kopírovaním na priame vyhodnocovanie v žiadnom matematickom softvére. Vytvorenie priameho kódovacieho jazyka MathML (Mathematical Markup Language) radikálne zlepšilo situáciu a umožnilo presnú reprodukciu matematických dokumentov na internete, sémantické kódovanie matematických výrazov a živú matematiku na webe. Kapitola 13 poskytuje všeobecný úvod do kódovacieho jazyka MathML 2.0, zdôrazňujúci výhody jeho použitia a možnosti prezentácie a sémantickej interpretácie matematických výrazov. Pre záujemcov, ktorí majú chuť vytvoriť svoje vlastné dokumenty s MathML kódovaním, je k dispozícii niekoľko prehľadných tabuliek so základnými príkazmi, prvkami, funkciami, operátormi a reláciami, konštantami a symbolmi. Uvedené sú aj základné informácie o syntaxe a implementácii funkčných xml súborov v rôznych prostrediach.
SciWriter editor je lacným riešením pre autorov, ktorí majú záujem publikovať matematické články on-line s MathML kódovaním matematických výrazov, ale pred priamym zápisom kódu radšej uprednostia použitie jednoduchého editora porovnateľného s editorom rovníc Microsoft Equation Editor v textovom editore MSWord. SciWriter umožňuje napísať a vyprodukovať prezentačné xml súbory s elegantným matematickým textom pomerne rýchlo a jednoducho, pomocou palety nástrojov alebo klávesových skratiek. Kapitola 14 demonštruje možnosti tohto editora graficky ilustrované na obrázkoch užívateľského rozhrania systému, a upozorňuje tiež na možnosť kopírovať vzorce kódované v MathML medzi editorom SciWriter a matematickými softvérovými systémami Maple a Mathematica.
Autorom programu Mathematica je Stephen Wolfram, kompletný systém vytvoril tím programátorov pod jeho vedením a po prvý krát bol prezentovaný v roku 1988. Tento komerčný produkt firmy Wolfram Research je na trhu v najnovšej verzii 6.0.2 od 25. februára 2008. Mathematica je počítačový algebrický systém, ktorý je schopný vykonávať symbolické aj numerické výpočty, pretože obsahuje vlastný programovací jazyk podporujúci funkčné aj procedurálne programovanie. Mathematica má viac ako milión používateľov, a používa sa takmer na všetkých najznámejších univerzitách. Kapitola 15 prináša všeobecný prehľad schopností programu Mathematica, s ilustráciami grafických možností a paliet nástrojov.
Kapitola 16 je úvodom do množstva dopstupných príkazov systému Mathematica, uvedených je niekoľko príkladov zaoberajúcich sa niektorými pojmami z analýzy priebehu funkcie jednej premennej, postupnosťami a lineárnou algebrou. Kapitola predstavuje čitateľom možnosti systému Mathematica, a prináša mnoho inšpirácii, ako využiť tento algebrický systém pri výučbe zložitých matematických pojmov.