Súčty a súčiny

Príklad 1. Symbolický výpočet nekonečného súčtu. Získaný numerický výpočet môžeme zobraziť ako premennú s dvojnásobnou presnosťou na 16 desatinných miest ťuknutím na zobrazený výsledok a stlačením klávesnice ENTER .

Underoverscript[∑, i = 1, arg3] 1/i^2 N[%]     (* Takes numerical result from the previous output . *)

π^2/6

1.64493

RowBox[{1.64493, }]

Výpočet môžeme zapísať aj štandardným spôsobom pomocou funkcie Sum[ ] v tvare:

Sum[1/i^2, {i, 1, ∞}]

π^2/6

Príklad 2. Systém Mathematica sa vždy snaží nájsť exaktné vzorce:

Underoverscript[∑, i = 1, arg3] iUnderoverscript[∑, i = 1, arg3] i^2 Underoverscript[∑, i = 1, arg3] i^3

1/2 n (1 + n)

1/6 n (1 + n) (1 + 2 n)

1/4 n^2 (1 + n)^2

Príklad 3. Viacnásobné súčty môžu obsahovať indexy závislé na predchádzajúcich, napríklad k = 1, ..., n a m = k, ..., n:

s1 = Underoverscript[∑, k = 1, arg3] Underoverscript[∑, m = k, arg3] (k * m)

1/24 n (1 + n) (2 + n) (1 + 3 n)

Príklad 4. Môžeme vypočítať aj špeciálne súčty závislé na premenných a konštantách:

s2 = Underoverscript[∑, k = 0, arg3] Underoverscript[∑, m = 0, arg3] x^ky^m

-(1 - x^(1 + n) - y + x^(2 + n) y + x y^2 (x y)^n - x^2 y^2 (x y)^n)/((-1 + x) (-1 + y) (-1 + x y))

Príklad 5. Pokúsme sa vypočítať symbolicky nekonečný súčet; ak neexistuje, systém vypíše namiesto výsledku pôvodný výraz. Čiastočný súčet získame v tvare zlomku alebo desatinného čísla. Posúvaním hornej hranice čiastočného súčtu dostávame približné hodnoty nekonečného súčtu.

Underoverscript[∑, i = 1, arg3] Underoverscript[∑, j = 1, arg3] (1/(i^3 + j^3))

RowBox[{Underoverscript[∑, i = 1, arg3], RowBox[{Underoverscript[∑, j = 1, arg3], RowBox[{1., /, (i^3 + j^3)}]}]}]

Underoverscript[∑, i = 1, arg3] Underoverscript[∑, j = 1, arg3] (1/(i^3 + j^3)) &n ... will, , asure, , to, , operate, , with, , real, , number}], ,, , not fractions}], *)}]}]}]

14549951251313062169970617/12017679094033690960512000

1.21071

1.21071

RowBox[{RowBox[{Underoverscript[∑, i = 1, arg3], RowBox[{Underoverscript[∑, j = 1, ... owBox[{Underoverscript[∑, j = 1, arg3], RowBox[{(, RowBox[{1., /, (i^3 + j^3)}], )}], }]}]

1.34862

1.36353

RowBox[{Underoverscript[∑, i = 1, arg3], RowBox[{Underoverscript[∑, j = 1, arg3], RowBox[{(, RowBox[{1., /, (i^3 + j^3)}], )}], }]}]

1.36437

Ak pripustíme absolútnu chybu na 2 desatinné miesta, dostávame súčet 1.36.

Príklad 6. Príklad 5 je napísaný v štandardnom tvare. Algoritmus numerickej sumácie môžeme aplikovať pomocou funkcie NSum[ ].

Sum[1/ (i^3 +j^3), {i,1,Infinity },{j,1,Infinity }]
Sum[1/ (i^3 +j^3), {i,1,100}, {j,1,100}];
% //N
NSum[1/(i^3 + j^3),{i,1,2000},{j,1,2000}]

Underoverscript[∑, i = 1, arg3] Underoverscript[∑, j = 1, arg3] 1/(i^3 + j^3)

1.34862

RowBox[{RowBox[{1.36202, }], +, RowBox[{0., , }]}]

Príklad 7. V nasledujúcom príklade index rastie s krokom 3. Výsledok je vypočítaný s presnosťou na 16 desatinných miest.

Sum[1/i^3,{i, 1,33,3}]
N[%,16] 

13387308346588554663968149
--------------------------
13116805863727582016000000
1.020622587973876

Príklad 8. Výpočet súčinu je analogický. Operátory ukončené znakom ; nezobrazia výstupné dáta, čo je výhodné v prípade, keď tieto nie sú dôležité, alebo sú nežiadúce.

Product[1/i^2, {i,1,100}];  N[%]
Product[1/i^2, {i,1,Infinity}]
NProduct[1/i^2, {i,1,Infinity}]  (*  NProduct uses numerical method of calculation *)

1.148134297558721*10^-316

1.3463*10^-157

0

0

Zápis výpočtu pomocou matematickej symboliky, použitím palety znakov:

Underoverscript[∏, i = 1, arg3] 1/i^2 ; %//N

1.148134297558721*10^-316

Created by Mathematica  (December 21, 2007)