Matematika v systéme Mathematica

Systém obsahuje všetky známe špeciálne matematické funkcie čistej aj aplikovanej matematiky a inžinierskych aplikácií. Zohrávajú dôležitú úlohu pri riešení problémov z praxe aj z čistej matematiky.

Príklad 1. Generovanie Legendrových polynómov ľubovoľného stupňa n. Nech je v našopm príklade napr. n=3 . Voľbou ľubovoľného iného prirodzeného čísla n dostaneme príslušný polynóm zvoleného stupňa.
Grafický výstup slúži na ilustráciu výsledku.

p = LegendreQ[3, x] Plot[p, {x, -1, 1}]

2/3 - (5 x^2)/2 - 3/4 x (1 - (5 x^2)/3) Log[(1 + x)/(1 - x)]

[Graphics:HTMLFiles/index_4.gif]

⁃Graphics⁃

Príklad 2. Mathematica vypočíta symbolicky aj zložité integrály aplikovaním všetkých známych matematických pravidiel a transformácií.

∫x^(1/2) ArcTan[x] x

-(4 x^(1/2))/3 + 1/3 2^(1/2) ArcTan[(-2^(1/2) + 2 x^(1/2))/2^(1/2)] + 1/3 2^(1/2) ArcTan[(2^(1 ... ) ArcTan[x] - Log[-1 + 2^(1/2) x^(1/2) - x]/(3 2^(1/2)) + Log[1 + 2^(1/2) x^(1/2) + x]/(3 2^(1/2))

Príklad 3. Výpočet nevlastných integrálov. Výsledok v tvare desatinného čísla dostaneme prepočítaním výsledku z predchádzajúceho riadku pomocou príkazu % // N:

∫_0^∞Log[x] Exp[-x^3] x %//N

1/81 Gamma[-2/3] (6 EulerGamma + 3^(1/2) π + 9 Log[3])

RowBox[{-, 0.932281}]

∫_0^∞Sin[x^2] Exp[-x] x %//N

1/4 (-2 HypergeometricPFQ[{1}, {3/4, 5/4}, -1/64] + (2 π)^(1/2) (Cos[1/4] + Sin[1/4]))

0.270514

Príklad 4. Výpočty konečných a nekonečných súčtov a súčinov.

Underoverscript[∑, k = 1, arg3] 1/k^6 %//N Underoverscript[∏, k = 1, arg3] 1/k^6 %//N

52107472322919827957/51219253009612800000

1.01734

1/46656

0.0000214335

Viac príkladov pozri v Mathematica demo   Integrals.

Príklad 5. Všetky typy obyčajných a parciálnych diferenciálnych rovníc sa dajú riešiť priamo symbolicky, ak riešenie existuje. Riešením obyčajnej diferenciálnej rovnice   y'' + y' + x y = 0 získame všeobecné riešenie v tvare systému funkcií s dvoma konštantami C[1] a C[2]. Potom pomocou zabudovanej funkcie Evaluate[ ] vyjadríme hodnotu partikulárneho riešenia y[x] v bode x = 1 pre konštanty C[1] = 0, C[2] = 1.

DSolve[y ' '[x] + y '[x] + x y[x] == 0, y[x], x] RowBox[{res, =, RowBox[{Evaluate, [, RowBox[{ ... 62754;, 1.}], ,, RowBox[{C[1], , 0.}], ,, , RowBox[{C[2], , 1.}]}], }}]}], ]}]}]

{{y[x] ^(-x/2) AiryAi[-(-1)^(1/3) (1/4 - x)] C[1] + ^(-x/2) AiryBi[-(-1)^(1/3) (1/4 - x)] C[2]}}

RowBox[{{, RowBox[{{, RowBox[{RowBox[{y, [, 1., ]}], , RowBox[{RowBox[{0.445528, }], +, RowBox[{0.170458, , }]}]}], }}], }}]

Príklad 6. Ďalšie príklady špeciálnych funkcií a transformácií. Otestujeme správnosť riešenia numerických nerovností: v prípade korektného riešenia systém zobrazí výstup True, v opačnom prípade False.

Log[2] <Zeta[3] <2^(1/2)

True

Nasledujúci príklad ilustruje aplikovanie rôznych goniometrických vzorcov pomocou zabudovanej funkcie TrigReduce[ ]  

TrigReduce[Cos[x]^4]

1/8 (3 + 4 Cos[2 x] + Cos[4 x])

Príklad 7. Vyhodnotenie, či je dané číslo prvočíslom, alebo nie, pomocou funkcie PrimeQ[ ]:

PrimeQ[242] PrimeQ[77431]

False

True

Created by Mathematica  (October 6, 2007)