cv2i.nb

Mathematica
Cvičenie 2

RIEŠENIE ROVNICE

Solve[rovnica,neznáma] - presný výsledok

Solve[rovnica,neznáma]//N - nunericky vyjadrený výsledok

ÚLOHA č.1:
Nájdite priesečníky grafu funkcie f(x) s osou x a zobrazte graf funkcie f(x), ak
a)  f(x) = - 4x - 4
b)  f(x) = - 4x + 4
c)  f(x) = - 4x + 14

Riešenie a)

In[1]:=

In[2]:=

Out[2]=

${{x2 (1 - 2^(1/2))}, {x2 (1 + 2^(1/2))}}$

In[3]:=

Out[3]=

In[4]:=

$Plot[x^2 - 4 * x - 4, {x, -5, 15}]$

[Graphics:HTMLFiles/index_10.gif]

Out[4]=

Riešenie b)

In[5]:=

Out[5]=

In[6]:=

$Plot[x^2 - 4 * x + 4, {x, -1, 4}]$

[Graphics:HTMLFiles/index_15.gif]

Out[6]=

Riešenie c)

In[7]:=

Out[7]=

${{x2 -  10^(1/2)}, {x2 +  10^(1/2)}}$

In[8]:=

$Plot[x^2 - 4 * x + 14, {x, -5, 15}]$

[Graphics:HTMLFiles/index_20.gif]

Out[8]=

RIEŠENIE SYSTÉMU ROVNÍC

Solve[ {rovnica1,rovnica2, ..., rovnica k}, {neznáma1,neznáma2, ...,neznáma k} ]    - presný výsledok

Solve[ {rovnica1,rovnica2, ..., rovnica k},{neznáma1,neznáma2, ...,neznáma k} ] //N   - numerický výsledok

�LOHA č.2 : <br />Riešte nasledovn� syst�my rovn�c<br />a) x + y + z = ... + 3z = 1 , 2x - y + 4z = 4<br />c) x + y + z = 3 , x - 2y + 3z = 1 , 2x - y + 4z = 5

Riešenie a)
Systém má jediné riešenie

In[9]:=

Out[9]=

In[10]:=

Out[10]=

Riešenie b)
Systém má nekonečne veľa riešení

In[11]:=

$Solve :: svars : Equations may not give solutions for all \"solve\" variables. More…$

Out[11]=

Riešenie c)
Systém nemá riešenie

In[12]:=

Out[12]=

Kreslenie grafu funkcií a parametre kreslenia

ÚLOHA č. 3:
a)   Definujte funkciu f(x) = 4 .
b)   Vypočítajte f(3).
c)   Zobrazte graf f(x) na intervale x∈<-5,5>.
d)   Zobrazte graf f(x) na intervale x∈<-5,5> a na celom H(f).
e)   Zobrazte graf f(x) na intervale x∈<-5,5> a pre y∈<0,0.1>.
f)    Na grafe f(x) označte súradnicové osi.
g)   Zobrazte graf f(x) hrubšou čiarou.
h)   Zobrazte graf f(x) čiarkovanou čiarou.
i)    Zobrazte graf f(x) červenou čiarou.
j)   Definujte funkciu g(x) =a zobrazte jej graf pre x∈<-5,5> zelenou hrubšou čiarou.
k)   Zobrazte grafy f(x) a g(x) do jedného obrázka a aj v mierke x : y=1 : 1.

Riešenie a)
Definujte funkciu f(x) = 4 .

In[13]:=

Out[14]=

Riešenie b)
Vypočítajte f(3).

In[15]:=

Out[15]=

In[16]:=

Out[16]=

Riešenie c)
Zobrazte graf f(x) na intervale x∈<-5,5>.

In[17]:=

[Graphics:HTMLFiles/index_43.gif]

Out[17]=

Riešenie d)
Zobrazte graf f(x) na intervale x∈<-5,5> a na celom H(f).

In[18]:=

[Graphics:HTMLFiles/index_46.gif]

Out[18]=

Riešenie e)
Zobrazte graf f(x) na intervale x∈<-5,5> a pre y∈<0,0.1>.

In[19]:=

[Graphics:HTMLFiles/index_49.gif]

Out[19]=

Riešenie f)
Na grafe f(x) označte súradnicové osi.

In[20]:=

[Graphics:HTMLFiles/index_52.gif]

Out[20]=

Riešenie g)
Zobrazte graf f(x) hrubšou čiarou.

In[21]:=

[Graphics:HTMLFiles/index_55.gif]

Out[21]=

Riešenie h)
Zobrazte graf f(x) čiarkovanou čiarou.

In[22]:=

[Graphics:HTMLFiles/index_58.gif]

Out[22]=

In[23]:=

[Graphics:HTMLFiles/index_61.gif]

Out[23]=

Riešenie i)
Zobrazte graf f(x) červenou čiarou.

In[24]:=

[Graphics:HTMLFiles/index_64.gif]

Out[24]=

Riešenie j)
Definujte funkciu g(x) =a zobrazte jej graf pre x∈<-5,5> zelenou hrubšou čiarou.

In[25]:=

Out[26]=

In[27]:=

[Graphics:HTMLFiles/index_71.gif]

Out[27]=

Riešenie k)
Zobrazte grafy f(x) a g(x) do jedného obrázka a aj v mierke x : y=1 : 1.

In[28]:=

[Graphics:HTMLFiles/index_74.gif]

Out[28]=

In[29]:=

[Graphics:HTMLFiles/index_77.gif]

Out[29]=

In[30]:=

[Graphics:HTMLFiles/index_80.gif]

Out[30]=

LIMITA FUNKCIE y =
Limit [ expr., x->]

ÚLOHA č. 4:
Definujte funkciu f(x) = .
a)   Zobrazte graf f(x) na intervale x∈<-5,5>.
b)  Vypočítajte limitu  f(x) pre x = 6 a x = -7.
c)  Vypočítajte limitu  f(x) v nevlastných bodoch.
d)  Vypočítajte limitu a jednostranné limity f(x) v bode nespojitosti. Porovnajte výstupy príslušných príkazov a urobte záver.

Definovanie funkcie f(x) a jej graf

In[31]:=

Out[32]=

In[33]:=

[Graphics:HTMLFiles/index_89.gif]

Out[33]=

Limita funkcie v ľubovolnom bode z D(f)

In[34]:=

Out[34]=

In[35]:=

Out[35]=

In[36]:=

Out[36]=

Limita funkcie v nevlastnom bode

In[37]:=

Out[37]=

In[38]:=

Out[38]=

Jednostranné limity funkcie v bode nespojitosti

In[39]:=

Out[39]=

In[40]:=

Out[40]=

Limita funkcie v bode nespojitosti

In[41]:=

Out[41]=

DERIVÁCIA FUNKCIE y =
Príkazy:
1. derivácia D[ f[x], x ], f'[x]
2. derivácia D[ f[x], x,x ], D[ f[x], {x,2} ], f''[x]
Derivácia rádu n: D[ f[x], {x,n} ]

ÚLOHA č. 5:
Pre funkciu f(x) = .
a)   Vypočítajte  f ' (x) .
b)   Vypočítajte  f '' (x) .
c)  Vypočítajte  f '' (-5) .
d)  Vypočítajte   (x) .
e)   Vypočítajte  deriváciu f(x) vyššieho rádu - napr. 13. rádu.

1. derivácia funkcie

In[42]:=

Out[42]=

2. derivácia funkcie

In[43]:=

Out[43]=

2. derivácia funkcie v bode x = -5

In[44]:=

Out[44]=

In[45]:=

Out[45]=

3. derivácia funkcie

In[46]:=

Out[46]=

In[47]:=

Out[47]=

Derivácie funkcie vyššieho rádu (napr. 13. derivácia)

In[48]:=

Out[48]=

ÚLOHY NA PRECVIČENIE
1.
Nájdite riešenie rovníc
a)     (4x - 2) + (2 - 3x) = -2

b)       (x - 1)/4 - (x - 2)/6 = (x + 1)/12
2.
Riešte nasledovné systémy rovníc
a)   2x + y - 3z = 10 , 3x + 2y + 3z = 2 , x + 6y - 5z = 6.
b)   2x + y - 3z = 10 , 3x + 2y + 3z = 2 , x + 6y - 5z = -8.
c)   2x + y - 3z = 10 , 3x + 2y + 3z = 2 , x + 6y - 5z = 8.
3.
Je daná f: y = 1 - x  + ln(x)  a g: y = 2.
a)     Zobrazte grafy f(x) a g(x) na definičnom obore g(x), v mierke x : y = 1 : 1,
       pričom graf f(x) bude bude modrý, graf g(x) bude čiarkovaný a hrubšou čiarou.
b)   Vyznačte na grafe (v jednom obr.) súradnicové osi.:
c)   Vypočítajte f(5).
d)   Vypočítajte limitu f(x) v bode x = 0.
d)   Vypočítajte g''(-1).
e)   Vypočítajte g ' (x) v bode x = 2.

Funkcia - odložené priradenie
f [ x_ ]:=

Úloha č. 6
a) Rôznou farbou nakreslite grafy funkcií a zobrazte ich v spoločnom obrázku.
cos x , x<01 - x^2 , x>=0
b) Definujte funkciu f(x), ak
f (x) = cos x , x<0f (x) = 1 - x^2 , x>=0
Správnosť overte výpočtom pre x z oboch intervalov.
c) Graf funkcie nakreslite na vhodnom intervale.
Graf funkcie f (x) nakreslite:
1) farebne,
2) hrubou čiarou,
3) čiarkovane,
4) v celom rozsahu
5) v celom rozsahu, čiarkovane a farebne súčasne

Riešenie a)

In[49]:=

[Graphics:HTMLFiles/index_133.gif]

Out[49]=

In[50]:=

$G2 = Plot[-x^2 + 1, {x, 0, Pi}, PlotStyle->RGBColor[1, 0, 0]]$

[Graphics:HTMLFiles/index_136.gif]

Out[50]=

In[51]:=

[Graphics:HTMLFiles/index_139.gif]

Out[51]=

Riešenie b)

Funkcia - odložené priradenie f [x_]:= ....

In[52]:=

In[55]:=

Out[55]=

In[56]:=

Out[56]=

In[57]:=

Out[57]=

In[58]:=

[Graphics:HTMLFiles/index_151.gif]

Out[58]=

Úloha č. 7
Zostavte tabuľku funkcie f(x) z príkladu č. 6 pre x ∈ -3, 3> s krokom tabuľky 0.5. Tabuľku zobrazte s vhodným záhlavím.
Príkazy: Table[expr, {i, , , di}], TableForm[list, options]

In[59]:=

Out[59]=

In[60]:=

Out[60]//TableForm=

x	f (x)
-3	Cos[3]
-2.5`	-0.8011436155469337`
-2.`	-0.4161468365471424`
-1.5`	0.0707372016677029`
-1.`	0.5403023058681398`
-0.5`	0.8775825618903728`
0.`	1.`
0.5`	0.75`
1.`	0.`
1.5`	-1.25`
2.`	-3.`
2.5`	-5.25`
3.`	-8.`

Nakreslite (farebne) graf funkcie danej tabuľkou.
Príkaz: ListPlot[list, options] , Parametre kreslenia - options: PointSize[..], RGBColor[..] alebo Hue[..]

In[61]:=

[Graphics:HTMLFiles/index_159.gif]

Out[61]=

In[62]:=

[Graphics:HTMLFiles/index_162.gif]

Out[62]=

Spojte graf funkcie f (x) danej spojitou funkciou a graf funkcie f (x) danej tabuľkou do jedného obrázku.

In[63]:=

[Graphics:HTMLFiles/index_165.gif]

Out[63]=

Úloha č. 8
Motorové vozidlo ide po suchej asfaltovej ceste rýchlosťou v = 60 km/h.Vodič zbadá prekážku. Reakčná doba je jedna sekunda, potom nasleduje brzdenie.
Vytvorte funkciu na výpočet dráhy s[m], ktorú vozidlo prejde za čas t[s] od okamihu zbadania prekážky. Nakreslite graf funkcie na intervale t ∈ <0,10> sekúnd. Vytvorte tabuľku závislosti prejdenej dráhy od času t pre t ∈ <0,10> sekúnd. nakreslite graf funkcie danej tabuľkou. Obidva grafy zobrazte v jednom obrázku.
Návod: Dráhu s[m] počítame ako hodnotu funkcie: s=v t pre t z intervalu < 0 s, 1 s > (reakčná doba) a s=v t - μ g , pre t > 1 s (brzdenie),
kde μ = 0,8 je súčiniteľ priľnavosti pre suchý asfalt, g = 9,81 ms-2 je gravitačné zrýchlenie, v [ ms-1] je počiatočná rýchlosť vozidla.

Riešenie :

Prípravné grafy a výpočty:

In[64]:=

In[65]:=

$Plot[v t - 1/2μ g (t - 1)^2, {t, 0, 10}]$

[Graphics:HTMLFiles/index_171.gif]

Out[65]=

In[66]:=

R = Solve[D[v t - 1/2μ g (t - 1)^2, t] 0, t]

Out[66]=

In[67]:=

Out[67]=

Definovanie funkcie a kontrolné výpočty:

In[68]:=

s[t_] := v t - 1/2μ g (t - 1)^2/;1<t≤HH

In[72]:=

Out[72]=

In[73]:=

Out[73]=

Graf:

In[74]:=

[Graphics:HTMLFiles/index_186.gif]

Out[74]=

In[75]:=

[Graphics:HTMLFiles/index_189.gif]

Out[75]=

In[76]:=

[Graphics:HTMLFiles/index_192.gif]

Out[76]=

In[77]:=

[Graphics:HTMLFiles/index_195.gif]

Out[77]=

In[78]:=

[Graphics:HTMLFiles/index_198.gif]

Out[78]=

Tabuľka:

In[79]:=

Out[79]=

{{0, 0.}, {0.52, 8.66667}, {1.04, 17.3271}, {1.56, 24.7694}, {2.08, 30.0897}, {2.6, 33.2879} ... , {7.28, 34.364}, {7.8, 34.364}, {8.32, 34.364}, {8.84, 34.364}, {9.36, 34.364}, {9.88, 34.364}}

In[80]:=

Out[80]//TableForm=

čas[t]	dráha[m]
0	0.`
0.52`	8.666666666666668`
1.04`	17.327054933333336`
1.56`	24.769433600000003`
2.08`	30.08971306666667`
2.6`	33.28789333333333`
3.12`	34.363974400000004`
3.64`	34.36402763619889`
4.16`	34.36402763619889`
4.68`	34.36402763619889`
5.2`	34.36402763619889`
5.720000000000001`	34.36402763619889`
6.24`	34.36402763619889`
6.76`	34.36402763619889`
7.28`	34.36402763619889`
7.800000000000001`	34.36402763619889`
8.32`	34.36402763619889`
8.84`	34.36402763619889`
9.36`	34.36402763619889`
9.88`	34.36402763619889`

Graf funkcie danej tabuľkou:

In[81]:=

[Graphics:HTMLFiles/index_204.gif]

Out[81]=

In[82]:=

[Graphics:HTMLFiles/index_207.gif]

Out[82]=

Na riešenie úlohy 8 zostavte program:

In[83]:=

R = Solve[D[v t - 1/2μ g (t - 1)^2, t] 0, t] ;

s[t_] := v t - 1/2μ g (t - 1)^2/;1<t≤HH

[Graphics:HTMLFiles/index_226.gif]

Out[93]=

{{0, 0.}, {0.52, 8.66667}, {1.04, 17.3271}, {1.56, 24.7694}, {2.08, 30.0897}, {2.6, 33.2879} ... , {7.28, 34.364}, {7.8, 34.364}, {8.32, 34.364}, {8.84, 34.364}, {9.36, 34.364}, {9.88, 34.364}}

Out[94]//TableForm=

čas[t]	dráha[m]
0	0.`
0.52`	8.666666666666668`
1.04`	17.327054933333336`
1.56`	24.769433600000003`
2.08`	30.08971306666667`
2.6`	33.28789333333333`
3.12`	34.363974400000004`
3.64`	34.363974400000004`
4.16`	34.363974400000004`
4.68`	34.363974400000004`
5.2`	34.363974400000004`
5.720000000000001`	34.363974400000004`
6.24`	34.363974400000004`
6.76`	34.363974400000004`
7.28`	34.363974400000004`
7.800000000000001`	34.363974400000004`
8.32`	34.363974400000004`
8.84`	34.363974400000004`
9.36`	34.363974400000004`
9.88`	34.363974400000004`

[Graphics:HTMLFiles/index_230.gif]

[Graphics:HTMLFiles/index_232.gif]

Out[98]=

ÚLOHY NA PRECVIČENIE 2
Ku nasledujúcim úlohám
a) vytvorte funkciu na výpočet,
b) nakreslite graf funkcie na vhodnom intervale s použitím niektorého parametra kreslenia,
c) vytvorte tabuľku závislosti hodnoty funkcie od nezávisle premennej s vhodným krokom,
d) nakreslite graf funkcie danej tabuľkou,
e) obidva grafy zobrazte v jednom obrázku,
f) po odladení príkazy spojte do jedného programu (v jednej bunke) .

1. Výpočet obsahu kruhu [] pre r ∈<0,100> cm.
2. Výpočet dráhy pohybu s [km] v závislosti od rýchlosti v [km/h] pri danom čase t [min]. Vytvorte variant pre zadávanie času t z klávesnice (Príkaz t = Input["Zadaj čas v minútach"].
3. Výpočet času [s] pri voľnom páde ( h = g ) pri danej výške h. Vytvorte variant pre zadávanie výšky h z klávesnice.
4. Výpočet spotreby paliva Sp [kg/h] od výkonu motora P [kW] pre lodné motory so vstrekovaním Common Rail, keď = [kg/h] , =170 g/kWh.
5. Výpočet podbrúsenia h v závislosti od priemeru závitníka d, ak h =(π .d.tgα )/n, kde π = 3,1415926, d je priemer závitníka v mm, n=3 je počet drážok, α =3° je uhol chrbta. Vytvorte variant pre zadávanie počtu drážok a uhla chrbta z klávesnice.
6. Výpočet minimálneho priemeru hriadeľa d od vzdialenosti medzi ložiskami l, ak d= (10 M_or/σ_dov)^(1/3) , =, =m.g.l/4, =, a m = 300 kg , n = 50 s-1, P = 5,5 kW = 5,5.103 W , σdov = 107 MPa = 1,07.108 Pa , g = 9,81 (dosadzujte v základných jednotkách ).Vytvorte variant pre zadávanie premenných n, P a m z klávesnice.

Created by Mathematica (November 19, 2008)