PRIESTOROVÉ ČIARY



1. Cylindrická skrutkovica

Cylindrický skrutkový pohyb je trieda geometrických transformácií zložená z triedy otáčaní okolo osi o a triedy posunutí v smere vektora kolineárneho s osou otáčaní o.

Syntetická reprezentácia:      (A, TS(u))

Analytické reprezentácie:

riadiaci útvar - A=(a, 0, 0, 1)

generujúci princíp -

cylindrický skrutkový pohyb s osou v súradnicovej osi z
určený vektorom posunutia
a=(0, 0, v0, 0 ) v smere osi

, uÎ<0,1>

modelovaný útvar

 r(u)=A. TS(u)=(acos au, asin au, av0u,1)

uÎ<0,1>, a0 je polomer skrutkovice, os otáčania o=z je os skrutkovice
a=2p pre jeden závit skrutkovice (ľavotočivej (obr. 3.24), príp. pravotočivej,
podľa orientácie uhla otáčania a),
a=2kp , k0 pre k závitov
v0 je redukovaná výška závitu, vz je výška závitu, vz=2pv0


Vnútorné vlastnosti modelovaného útvaru:

jeden závit skrutkovice - r(u)=(acos 2pu, asin 2pu, 2pv0u,1)

r´(u)=2p(-asin 2pu, acos 2pu, v0, 0)         ç r´(u)ç = 2p=2pd

r´´(u)= -4p2(acos 2pu, asin 2pu, 0, 0)         r´´´(u)= -8p3a(-sin 2pu, cos 2pu, 0, 0)

[r´(u) r´´(u) r´´´(u)]=64p6a2 v0

r´(u) ´ r´´(u)= 8p3a(v0 sin 2pu, -v0 cos 2pu, a, 0)         ç r´(u) ´ r´´(u)ç = 8p3ad


Frenet-Serretov trojhran v bode P(u), uÎ<0,1>

t(u)=(-asin 2pu, acos 2pu, v0, 0)/d         b(u)= (v0 sin 2pu, -v0 cos 2pu, a, 0)/d

n(u)= (cos 2pu, sin 2pu, 0, 0)

1k(u)=a/d2         1r(u)=d2/a         2k(u)=v0/d2

Rektifikácia dĺžky závitu skrutkovice (obr. 3.25)




Jeden závit skrutkovice sa rozvinie do prepony pravouhlého trojuholníka, ktorého odvesny majú dĺžky vz (výška závitu skrutkovice) a 2pa (dĺžka riadiacej kružnice rotačnej valcovej plochy, na ktorej je skrutkovica navinutá).

Uhol j, ktorý zvierajú všetky dotyčnice skrutkovice s rovinou kolmou na os skrutkového pohybu,
sa nazýva spád skrutkovice. Skrutkovica je čiara konštantného spádu.

tg j = vz / 2pa = vo / a

Smerová kužeľová plocha skrutkovice je rotačná kužeľová plocha, ktorej tvoriace priamky sú rovnobežné s dotyčnicami skrutkovice, vrchol je bod W na osi skrutkovice a riadiaca kružnica s polomerom a (polomer skrutkovice) leží v rovine r kolmej na os skrutkovice.
Vzdialenosť vrchola od roviny riadiacej kružnice je rovná redukovanej výške závitu skrutkovice v0=|Wr|.
Dotykové roviny smerovej kužeľovej plochy sú rovnobežné s oskulačnými rovinami skrutkovice.
Konštrukcia sprievodného Frenet - Serretovho trojhranu v danom bode BS ľavotočivej skrutkovice je na obr. 3.26. Nech je os o skrutkovice rovnobežná s osou z.
Prvým priemetom skrutkovice je kružnica s1.
Časť smerovej kužeľovej plochy sa v pôdoryse premieta ako kruh s hraničnou kružnicou k1=s1 o polomere a.
Nárys časti smerovej kužeľovej plochy je trojuholník s vrcholom W2 na osi o2 , |W2x1,2|=v0 .
V bode BS skrutkovice zostrojme oskulačnú rovinu w.
Rovina obsahuje dotyčnicu t skrutkovice v bode BS (spádová priamka prvej osnovy určujúca uhol roviny w s pôdorysňou - spád j skrutkovice ) a normálu n (hlavná priamka prvej osnovy kolmá na dotyčnicu).
Dotyčnicu skrutkovice nájdeme pomocou smerovej kužeľovej plochy, ktorej tvoriaca priamka l (prechádzajúca vrcholom W) je rovnobežná s hľadanou dotyčnicou t.
Binormála b skrutkovice je kolmá na oskulačnú rovinu w, rektifikačná rovina r je kolmá na pôdorysňu.


2. Kónická skrutkovica

Kónický skrutkový pohyb je trieda geometrických transformácií zložená z triedy otáčaní okolo osi o (os pohybu) a triedy rovnoľahlostí so stredom V ležiacim na danej osi, koeficient h=1.

Syntetická reprezentácia:      (A, TOR(u))

Analytické reprezentácie:

riadiaci útvar - A=(a, 0, 0, 1)

generujúci princíp

kónický skrutkový pohyb s osou v súradnicovej osi z určený
stredom rovnoľahlosti V=(0, 0, vz,1) na osi a koeficientom h=1

modelovaný útvar


r(u)=A.TOR(u)=((1-u)acos au, (1-u)asin au, kvzu, 1)

uÎ<0,1>, a0, k0 je počet závitov, a=2kp

a=2p pre jeden závit skrutkovice

Kónická skrutkovica je čiara ležiaca na rotačnej kužeľovej ploche s osou v osi skrutkového pohybu,
vrcholom v bode V a riadiacou kružnicou s polomerom a ležiacou v rovine kolmej na os pohybu.


3. Sférická skrutkovica

Sférický skrutkový pohyb je trieda geometrických transformácií
zložená z dvoch tried otáčaní okolo na seba kolmých osí 1o, 2o.

Syntetická reprezentácia:      (A, T00(u))

Analytické reprezentácie:

    riadiaci útvar - A=(0, 0, a,1)

    generujúci princíp - sférický skrutkový pohyb
         s osou 1o v súradnicovej osi x
         a osou 2o v súradnicovej osi z, k0


, uÎ<0,1>

modelovaný útvar

r(u)=A.T00(u)=(asin au sin 2kpu, -asin au cos 2kpu, acos au, 1)

uÎ<0,1>, a0, k0 je počet závitov, a=p

Sférická skrutkovica je čiara ležiaca na guľovej ploche so stredom
v priesečníku osí rotácií O=1oÇ2o a polomerom a=|OA|.

Pre uhol a=2p a k=0,5 dostávame Vivianiho krivku
s dvojnásobným bodom (a, 0, 0, 1) na súradnicovej osi x (obr. 3. 29).



4. Vivianiho krivka (obr. 3.29)

Vivianiho krivka je priestorová čiara vytvorená pohybom bodu, ktorý vzniká zložením dvoch tried otáčaní okolo na seba kolmých osí 1o, 2o.

Syntetická reprezentácia:      (A, T00(u))

Analytické reprezentácie:

riadiaci útvar - A=(0, a, 0, 1)

generujúci princíp -

zložená trieda otáčaní okolo súradnicových osí x a z




              Obr. 3. 29


, uÎ<0,1>

 modelovaný útvar

r(u)=A.T00(u)=(-asin 2pu cos 2pu, acos2 2pu, asin 2pu, 1)

uÎ<0,1>, a0

Vivianiho krivka je prieniková čiara
rotačnej valcovej plochy
s osou v osi rovnobežnej s osou otáčania 2o a polomerom rovným a/2
s guľovou plochou,
ktorej stred je v priesečníku osí otáčaní O=1o Ç2o a polomer je rovný a.
V dvojnásobnom bode krivky je spoločný priesečník oboch plôch so súradnicovou osou y, obr. 3.30.


Obr. 3.30