Rekonštrukcia útvaru daného priemetmi (určenie jeho tvaru a veľkosti), alebo nájdenie priemetu útvaru určeného rozmermi a metrickými vlastnosťami svojich prvkov, sa realizuje pomocou konštrukcií zahrnujúcich základné úlohy nazývané metrické. Možno ich rozdeliť do dvoch hlavných skupín - úlohy o dĺžke úsečky a úlohy o veľkosti uhla. Metrické vlastnosti sa vzťahujú len na vlastné prvky priestoru E³, preto v prípadoch, keď nedôjde ku nedorozumeniu, budeme používať pojem euklidovskej geometrie "rovnobežnosť". Priamky (roviny), ktoré majú spoločný nevlastný bod (spoločnú nevlastnú priamku), budeme nazývať rovnobežné priamky (roviny).

Dĺžka úsečky

Kolmým priemetom úsečky je úsečka, ktorej dĺžka je menšia alebo rovná dĺžke pôvodnej úsečky. Na priamkach rovnobežných s priemetňou sa dĺžka úsečky pri kolmom (rovnobežnom) premietaní neskresľuje. Dĺžku úsečky na priamkach vo všeobecnej polohe vzhľadom na priemetne možno určiť viacerými konštrukciami.

I. Sklápanie premietacej roviny

Line segment (as a part of a line) is is projected in the projecting plane perpendicular to the projection plane (Fig. 2.36), AB Ì k, k ^ p, AB Ì l, l ^ n. Revolution of the projecting plane 90° about the intersection line with the projection plane (trace of the plane) into the projection plane is lowering of the plane. Projecting lines of points A and B are lowered into the lines perpendicular to the projection of the plane and on them the lowered points A a B are located in the distances equal to their distances from the projection plane (coordinates z_A, z_B in lowering to the p, y_A , y_B in lowering to the n). Invariant line of the lowering, the trace of the plane is a part of both the lowered plane and the plane to which we lower the given plane. Lowered figures will be drawn in dash lines and denoted by the names in the brackets. It is true that |AB|=|(A)(B)|. The plane can be lowered also to the planes parallel to the projection planes (p´ or n´). The distance to which points will be lowered is in this case equal to the difference of the due coordinates of the point and the planep´ or n´.

II. Revolution of the line segment to the position parallel to the projection plane

The length of a line segment not appearing in the true size can be determined also by revolving the line segment about the axis perpendicular to one of the projection planes to the position parallel to the other projection plane (Fig. 2.37). Axis of revolution is incident with one of the line segment end points, which remains invariant in the revolution. All other points of the line segment are revolving on circles (with centres at the axis of revolution) in planes perpendicular to the axis of revolution to the plane parallel to one of the projection planes. They create a part of the conical surface of revolution, two line segments on this surface patch, ⁰A⁰B and ⁰A⁰B´ , resp. ⁰A´⁰B are parallel to the projection plane and appear in the true size

|AB|=|⁰A₁⁰B₁|=|⁰A₁⁰B₁´|, príp. |AB|=|⁰A₂ ⁰B₂|=|⁰A₂´⁰B₂|

III. Transformácia priemetne - bokorys

Another solution how to find a line segment length is to add a new projection plane, parallel to the give line segment, in order to get the true size view of the line segment. The additional side projection plane (perpendicular to p) intersects the horizontal plane in the axis y_1,3 , while first and third views will be related in the direction perpendicular to this line (Fig. 2.38). Distance of the third view of the point from the axis y_1,3 equals to the distance of the second view of the point from the axis x_1,2 (the distance of the point from the horizontal plane -coordinate z). Similarly the fourth projection plane (perpendicular to n) intersects the frontal plane in the axis z_2,4 . Second and fourth views of points will be related in the direction perpendicular to this axis, distance of the fourth view of the point from the axis z_2,4 equals to the distance of the first view of the point from the axis x_1,2 (The distance of the point from the frontal plane - coordinate y).

|AB|=|A₃B₃|=|A₄B₄|.

A similar problem is to draw views of a line segment given in the true size and located on a line .

In the orthogonal axonometry, the length of line segments on the coordinate axes x, y, z projected into the axonometric projection plane is scaled, does not appear in the true size. Coordinates of points can be not used in their true size. Lowering the projecting planes of the každej z osí do axonometrickej priemetne r určíme sklopené osi (x), (y), (z), na ktorých sú súradnice neskreslené. Trojuholník ZPO (obr. 2.39) leží v premietacej rovine k osi z. Je pravouhlý, (POÌp, OZ=z) a jeho prepona PZ leží v axonometrickej priemetni (je pri sklopení samodružná). Bod (O) je vrchol pravého uhla nad preponou PZ, leží na Talesovej kružnici zostrojenej nad priemerom PZ a na sklopenej premietacej priamke kolmej na PZ. Jednotková úsečka j na sklopenej osi (z)=(O)(Z) sa premieta do úsečky j_z Ì z. Obdobne nájdeme priemety jednotkovej úsečky na súradnicových osiach x, y. Mierku skrátenia dĺžok na príslušných súradnicových osiach vyjadrujú redukčné uhly (obr. 2.39). Zostrojíme ich vo zvolených vrcholoch V^X, V^Y, V^Z, z ktorých opíšeme oblúky s polomerom rovnajúcim sa jednotke dĺžky j=|V^xX|=|V^yY|=|=|V^zZ|. Tetivy týchto oblúkov majú dĺžky priemetov jednotkových úsečiek postupne na priemetoch súradnicových osí x, y, z v danej kolmej axonometrii, j_x, j_y, j_z. Súradnice každého bodu A=[x_A,y_A,z_A] vieme v príslušnom redukčnom uhle skrátiť a potom priamo prenášať na axonometrické priemety súradnicových osí. V trimetrii je každý redukčný uhol iný, v dimetrii sú zhodné dva z nich a v izometrii sú zhodné všetky tri.

Veľkosť uhla

Ak je uhol dvoch geometrických útvarov pravý, hovoríme, že útvary sú na seba kolmé. Pravý uhol dvoch priamok sa premieta ako pravý len pri zvláštnej polohe priamok vzhľadom na priemetňu (pozri kap. 1.8). Spádové priamky roviny sa len v jednom zo svojich priemetov zobrazujú ako kolmice na stopu (príp. hlavné priamky) roviny. Priamka je kolmá na rovinu, ak je kolmá na všetky priamky tejto roviny. Je preto kolmá aj na hlavné priamky prvej osnovy (a pôdorysnú stopu) roviny a tento pravý uhol sa zobrazuje v pôdorysni ako pravý. Je však kolmá aj na hlavné priamky druhej osnovy (a nárysnú stopu) roviny, pričom tento uhol sa zobrazuje ako pravý v náryse (obr. 2. 40).

Rovina a prechádzajúca daným bodom R kolmo na danú priamku k je jednoznačne určená svojimi hlavnými priamkami p a n.

V ortogonálnej axonometrii určíme axonometrický pôdorys k₁ kolmice na rovinu (teda na stopu p^a) pomocou ortocentra trojuholníka 12O. Výška na stranu 12Ìp^a je OW=v⁰, A₁Îk₁||v⁰. Axonometrický priemet k kolmice na rovinu sa premieta ako kolmica na priesečnicu roviny s axonometrickou priemetňou, axonometrickú stopu roviny r^a (obr. 2.40).

Uhol priamky (roviny) s priemetňou sa nazýva odchýľka priamky (roviny) od priemetne. Odchýľku priamky od priemetne určíme sklopením príslušnej premietacej roviny priamky (obr. 2.41). Sklopenú priamku je najvýhodnejšie určiť pomocou stopníkov, z ktorých je vždy jeden samodružný (ležiaci v priemetni, do ktorej sklopíme).

úØa pú =ú Øa₁(a)ú = j úØa nú =ú Øa₂ (a)ú = y

Odchýľku roviny od pôdorysne určuje spádová priamka prvej osnovy, odchýľku od nárysne spádová priamka druhej osnovy (obr. 2.42).

úØapú = ú عspú =ú عs₁(¹s)ú= j úØanú = ú زsnú =úزs₂(²s)ú =y

Uhol dvoch priamok sa zobrazí v skutočnej veľkosti iba vtedy, keď sú obe priamky rovnobežné s priemetňou. Veľkosť uhla dvoch rôznobežných priamok zistíme otočením roviny určenej danými priamkami do roviny rovnobežnej s priemetňou, príp. priamo do priemetne.

Pre otáčanie roviny platí:

1. Osou otáčania je priesečnica otáčanej roviny s rovinou, do ktorej otáčame (hlavná priamka alebo stopa roviny).

2. Každý bod otáčanej roviny sa pohybuje po kružnici, ktorá leží v rovine otáčania kolmej na os otáčania. Stred tejto kružnice otáčania, stred otáčania, leží na osi otáčania.

3. Polomer otáčania bodu sa rovná vzdialenosti bodu od osi otáčania.

Otáčanie roviny do pôdorysne

- os otáčania

- stred otáčania

- polomer otáčania

- kružnica otáčania bodu A

(obr. 2.43)

Otáčanie roviny do roviny n´ rovnobežnej s nárysňou

(obr. 2.44)

Príklad 2.1: Určte veľkosť uhla dvoch rôznobežiek a, b (obr. 2.45).

Riešenie: Priamky určujú rovinu a=(a,b). Pôdorysné stopníky P a P´ priamok ležia na pôdorysnej stope roviny, okolo ktorej otáčame rovinu a do priemetne. Stopníky sú samodružné body priamok. Bod R sa otáča v rovine otáčania c^R kolmej na os otáčania, po kružnici otáčania k^R so stredom v bode S^R=c^RÇo a polomerom r=|S^RR|. Sklopením úsečky S^RR určíme veľkosť polomeru. Uhol priamok a₀=P₀´R₀ a b₀=P₀R₀ je hľadaným uhlom rôznobežiek a, b.

Súradnicové roviny p, n a m sa s axonometrickou priemetňou r pretínajú v priamkach XY, XZ a YZ (úsečky na týchto priamkach sú stranami Pelcovho axonometrického trojuholníka), XY je os otáčania roviny p do axonometrickej priemetne (obr. 2.46). Bod OÎp sa otáča v rovine otáčania c⁰ kolmej na os o . Trojuholník XOY je pravouhlý. Otočený bod O₀, ktorý je vrcholom pravého uhla nad preponou XY (samodružná úsečka v danom otočení), leží na Talesovej kružnici zostrojenej nad priemerom XY. Otočené súradnicové osi sú priamky x₀=O₀X₀, y₀=O₀Y₀. Otočením súradnicovej roviny možno určiť skrátenie dĺžok úsečiek na dvoch osiach súčasne.

Z daného pôdorysu a nárysu bodu možno jednoducho zostrojiť jeho axonometrický priemet (obr. 2.47). Otočíme p okolo priamky XY do axonometrickej priemetne, nájdeme ¹O₀¹x₀¹y₀ - otočené súradnicové osi x a y. Otočenú pôdorysňu posunieme v nákresni v smere osi z tak, aby bola mimo axonometrického trojuholníka XYZ (kvôli prehľadnosti konštrukcie) do ¹O¹x¹y a nájdeme pôdorys bodu A pomocou jeho súradníc x_A, y_A. Rovnako otočíme nárysňu n okolo priamky XZ do axonometrickej priemetne, nájdeme ²O₀²x₀²z₀ - otočené súradnicové osi x a y. Otočenú nárysňu posunieme v smere osi y mimo trojuholníka XYZ do ²O²x²y. Pomocou súradníc x_A a z_A nájdeme nárys bodu A. Axonometrický priemet bodu A je priesečník priamky rovnobežnej s osou z a prechádzajúcej bodom ¹A s priamkou rovnobežnou s osou y a prechádzajúcou bodom ²A. Uvedená metóda sa nazýva zárezová metóda a používa sa pri zostrojovaní názorných priemetov útvarov určených dvoma rôznymi združenými priemetmi. Pri šikmej axonometrii možno umiestnenie kolmých združených priemetov útvaru ako aj smery posunutí ¹OO, ²OO voliť celkom ľubovoľne, s ohľadom na dostatočnú názornosť získaného šikmého axonometrického priemetu. Na obr. 2.48 je zárezovou metódou zostrojený šikmý axonometrický priemet strojárskej súčiastky určenej bokorysom a nárysom. Umiestnenie je zvolené pomocou priemetov kocky .