Rovinné čiary

ROVINNÉ ČIARY

1. Úsečka

Úsečka vznikne posúvaním bodu v smere daného vektora (obr. 3.4).

Syntetická reprezentácia: (A, T_p(u))

Analytické reprezentácie:

riadiaci útvar - A=(x_A, y_A, z_A,1)

generujúci princíp - trieda posunutí určená vektorom
a=(a₁, a₂, a₃, 0)

, pre uÎ<0,1>

modelovaný útvar - r(u) = A.T_P(u) =(x_A+ ua₁, y_A+ ua₂, z_A+ ua₃,1), uÎ<0,1>

Vnútorné vlastnosti modelovaného útvaru:

r´(u) = (a₁, a₂, a₃, 0)

r´´(u) = 0 r´(u) ´ r´´(u) = 0 çr´(u) ´ r´´(u)ç = 0 r´´´(u) = 0

Frenet-Serretov trojhran v bode P(u), uÎ<0,1> neexistuje.

b(u)=0 n(u)=0

^{1k(u)=0
¹r=
          ²k(u)=0
Všetky body úsečky sú inflexné body, každá rovina prechádzajúca
úsečkou je jej oskulačnou rovinou.

Úsečka (priamka) je čiara nulovej prvej i druhej krivosti.

2. Kružnicový oblúk (kružnica)

Kružnicový oblúk vznikne otáčaním bodu okolo priamky
o uhly z intervalu <0,a>. Pre a=2p
vznikne kružnica (obr. 3.5).

Syntetická reprezentácia:      (A, T_Oz(u))

Analytické reprezentácie:

riadiaci útvar - A=(a, 0, 0, 1), a0

generujúci princíp - trieda otáčaní okolo súradnicovej
osi z



o uhly z intervalu <0,a>

    , pre uÎ<0,1>

modelovaný útvar - r(u)=A.T_Oz (u)=(acos
au, asin
au, 0, 1)

u Î<0,1>, a0 je polomer kružnice

Vnútorné vlastnosti modelovaného útvaru:
r´(u)=(-asin au, acos au, 0, 0)
    ç
r´(u)ç
=
r´´(u)= -a²( acos au, asin au, 0, 0)
r´´´(u)= -a³(-asin au, acos au, 0, 0)
r´(u) ´
r´´(u) = (0, 0, a³a², 0)
            ç
r´(u) ´
r´´(u)ç
= a³a²[r´(u) r´´(u) r´´´(u)]=0

Frenet-Serretov trojhran v bode P(u), u Î<0,1>

t(u)= (-sin au, cos au, 0, 0)
b(u)=(0, 0, 1, 0)
n(u)= ( -cos au, -sin au, 0, 0)
^{1k(u)=1/a
¹r(u)=a
²k(u)=0
Kružnica je rovinná čiara, ktorá je sama sebe oskulačnou kružnicou v každom svojom bode,

polomer kružnice je polomerom prvej krivosti.

Rektifikácie dĺžky oblúka kružnice}
Kochańského (stredový uhol oblúka AB je 180°)
(obr. 3.6)
1. AÎt, t ^
AB

2. |
AST|=30°, |TA₀|=3.|SA|=3a

3. |AB|=|A₀B|=pa

D'Ocagneova (stredový uhol oblúka AB je v intervale (30°, 60°))
(obr. 3.7).
1. |A1|=|12|=|2B|
2. S1ÇAB=¹T       (S2ÇAB=²T)
3. AÎ¹l, ¹l // S1        (BÎ²l, ²l // S2)
4. ¹lÇB¹T=A₀, |A₀B|=|AB|
       (²lÇA²T=B₀, |AB₀|=|AB)

Sobotkova (stredový uhol oblúka AB je v intervale (0°, 30°),

(obr. 3.8.)
1. AÎt, t ^
AS

2. |AT|=3.|AS|
3. TBÇt=B₀, |AB₀|=|AB|

3. Elipsa
Elipsu získame ako afinný obraz kružnice (obr. 3.9).

Syntetická reprezentácia:     (k,T_A)
Analytické reprezentácie:

riadiaci útvar - kružnica k
q(u)=(acos au, asin au, 0, 1)

uÎ<0,1>, a=2p pre celú kružnicu, a0

generujúci princíp - osová afinita s osou v súradnicovej osi x a dvojicou odpovedajúcich si bodov

(0, a, 0, 1)®(0, b, 0, 1) v smere vektora s=(0, b-a, 0, 0), b0

modelovaný útvar - r(u) = q(u).T_A =(acos au, bsin au, 0, 1)

uÎ<0,1>, a=2p pre celú elipsu,
a>b, a je hlavná, b vedľajšia polos

Vnútorné vlastnosti modelovaného útvaru:
r´(u)=a(-asin au, bcos au, 0, 0)

çr´(u)ç
=a
r´´(u)= -a²(acos au, bsin au, 0, 0)

r´´´(u)= -a³(-asin au, bcos au, 0, 0)
[r´(u) r´´(u) r´´´(u)]=0
     r´(u) ´
r´´(u) = (0, 0, a³ab, 0)
çr´(u) ´
r´´(u)ç
=a³ab

Frenet-Serretov trojhran v bode P(u), uÎ<0,1>
t(u)=(-asin au, bcos au, 0, 0)/d
     b(u)=(0, 0, 1, 0)
     n(u)= (bcos au, -asin au, 0, 0)/d

^{1k(u)=ab/d³
     ¹r(u)=d³/ab
     ²k(u)=0

4. Parabola
Parabolu získame ako kolineárny obraz kružnice (obr. 3.10).

Syntetická reprezentácia:       (k, T_K)

Analytické reprezentácie:

riadiaci útvar - kružnica k
q(u)=(acos au, asin au, 0, 1)

uÎ<0,1>, a0, a=2p pre celú kružnicu

generujúci princíp - stredová kolineácia

s osou v súradnicovej osi x,

stredom S=(0, s, 0, 1)

a dvojicou odpovedajúcich si bodov
U=(0, a, 0, 1)®U´=(0, a-s, 0, 0), s0

modelovaný útvar

r(u)=q(u).T_K=(acos au, (a-s)sin au, 0, 1-sin au)=

uÎ<0,1> -1/4, a=2p pre celú parabolu, a= -p
pre oblúk AB

Nevlastným bodom paraboly je bod P(1/4).
Bod V=(0, -a, 0, 1) sa zobrazí do vrchola paraboly

V´=V.T_K=(0, s-a, 0, 2)=(0, (s-a)/2, 0, 1)=r(3/4)=
Nevlastný priesečník R dotyčníc kružnice k v samodružných bodoch A, B sa zobrazí do vlastného bodu R´,

v ktorom sa pretínajú dotyčnice kolineárnej paraboly k´.

5. Hyperbola
Hyperbolu získame ako kolineárny obraz kružnice (obr. 3.11).

Syntetická reprezentácia: (k, T_K)

Analytické reprezentácie:

riadiaci útvar - kružnica k

q(u)=(acos au, asin au, 0, 1)

uÎ<0,1>, a0, a=2ppre celú kružnicu

generujúci princíp
stredová kolineácia s osou v súradnicovej osi x,

stredom S=(0, s, 0, 1)

a dvojicou odpovedajúcich si bodov
Y=(0, d, 0, 1)®Y´=(0, d-s, 0, 0), d<a,
d0, s0

modelovaný útvar

r(u)=q(u).T_K=(adcos au, a(d-s)sin au, 0, -asin au+d) =

uÎ<0,1> - {u₁, u₂}, .

Nevlastné body hyperboly sú P(u₁), P(u₂).

Bod A=(0, -a, 0, 1) sa kolineárne zobrazí do vrchola hyperboly
,

bod B=(0, a, 0, 1) do druhého (nezobrazeného) vrchola
.}}