Euklidovské transformácie

Euklidovské - metrické transformácie zachovávajú velkosť útvaru, menia iba jeho polohu v priestore. Vzťah medzi súradnicami bodov vzoru a obrazu v danej transformácii vyjadrujú rovnice transformácie. Matica lineárnej transformácie je maticou tejto sústavy rovníc:

(x, y, z, 1) ® (x´, y´, z´, 1)

x´ = f(x, y, z),
y´ = g(x, y, z),
z´ = h(x, y, z)

A´ = A .T


identita

x´ = x

y´ = y

z´ = z

A´ = A .TI



rovinová súmernosť podľa súradnicovej roviny p = xy

x´ = x

y´ = y

z´ = -z

A´ = A .TSp



osová súmernosť podľa súradnicovej osi z

x´ = - x

y ´ = - y

z´ = z

A´ = A .TSz



stredová súmernosť podľa začiatku súradnicovej sústavy O

x´ = - x

y ´ = - y

z´ = -z

A´ = A .TSO



otáčanie okolo osi z o uhol j

x´= x cosj - y sinj

y ´= x sinj + y cosj

z´= z

A´= A .TOz

posunutie o vektor (m, n, p, 0)

x ´= x + m

y ´= y + n

z´= z + p

A´= A .TP



posunutá rovinová súmernosť podľa súradnicovej roviny p
s posunutím o vektor (0, c, 0, 0)

x ´= x

y ´= y

z´= -z + c

A´= A . TPSp



posunutá osová súmernosť podľa súradnicovej osi z s posunutím o vektor (c,0,0,0)

x´= - x + c

y´ = - y

z´ = z

A´ = A . TPSz



otočená rovinová súmernosť podľa súradnicovej roviny m okolo súradnicovej osi x

x´ = - x

y´ = y cosj - z sinj

z´ = y sinj + z cosj

A´ = A . TOSn



skrutkový pohyb okolo osi z s posunutím o vektor (0,0,v,0) pre uhol otočenia j

x ´ = x cosj - y sinj

y ´ = x sinj + y cosj

z´ = z +v

A´ = A . TS



 

 

Determinant matice TM každej metrickej transformácie má hodnotu ±1, platí |TM|2 = 1.

 

Afinné transformácie priestoru ĄE3

Afinné transformácie nezachovávajú veľkosti úsečiek a uhlov. Špeciálnu množinu afinných transformácií tvoria podobnosti, zachovávajúce veľkosť uhlov. Každá euklidovská transformácia je afinnou transformáciou (podobnosťou) v ĄE3.

rovnoľahlosť s daným stredom O
a nenulovým koeficientom rovnoľahlosti s (zmena mierky).

x´ = sx x´ = x

y´ = sy y´ = y

z´ = sz z´ = z

h = 1 h ´=

A´ = A . TR = (sx, sy, sz, 1) = s(x, y, z, )



 

 

Zložením rovnoľahlostí na súradnicových osiach x, y a z so stredmi v začiatku súradnicovej sústavy a koeficientami a, e, i (nenulové mierky na súradnicových osiach v danom poradí) dostaneme afinnú transformáciu, ktorá už nie je podobnosťou.

mierky na súradnicových osiach x, y a z s koeficientami a, e, i v danom poradí

x´ = ax

y´ = ey

z´ = iz

h = 1

A´ = A . TR = (ax, ey, iz, 1)



všeobecná afinná transformácia

| TA| ą 0, je maticou sústavy rovníc


A = (x, y, z, 1) ®

Koeficienty a až i, m, n, p, s ą 0 majú zrejmý geometrický význam

a, e, i nenulové mierky na súradnicových osiach x, y, z

s koeficient rovnoľahlosti do stredu v začiatku súradnicovej sústavy

m, n, p súradnice vektora posunutia

b, c, f, d, g, h koeficienty všeobecnej afinnej transformácie.

osová afinita medzi rovinou p = xy a rovinou p´ = xA´ s osou v osi x a odpovedajúcou si dvojicou bodov A(a, b, 0, 1) ® A'(d, e, f, 1), b ą 0, f ą 0, so smerom afinity určeným priamkou s = AA' so smerovým vektorom

x´ = bx + (d - a)y

y ´ = ey

z´ = fy + bz

h´ = b

A´ = A . TA =

= (bd, be, bf, b) = b(d, e, f, 1)

 

 

Projektívne transformácie

Projektívnou transformáciou rozšíreného euklidovského priestoru E3 je každá lineárna geometrická transformácia priestoru na seba. Nazýva sa kolineácia. Okrem incidencie zachováva dvojpomer štyroch bodov na priamke. Všetky uvedené euklidovské a afinné transformácie sú kolineáciami so špeciálnymi vlastnosťami a invariantnými prvkami.

projektívna transformácia

s ą 0, |TK | ą 0

matica sústavy rovníc

 

 

h

 

stredová kolineácia medzi rovinou p = xy a rovinou p´ = xA´ s osou o = x v súradnicovej osi x, so stredom v bode S = (s1, s2, s3, 1), a dvojicou odpovedajúcich si bodov

A = (a, b, 0, 1) ® A´ = (x´, y´, c, 1)}, s3 ą 0, b ą 0, c ą s3

(x, y, z, 1) ® (x´, y´, z´, h´)

x´ = bx + dy + gz

y´ = ey + kz

z´ = cy + iz

h´ = hb



A´ = A .Tk = (ab2 + bd, be, bc, b) = b(ab + d, e, c, 1)

d = , e = b - 1 + , g = , k , i = b - .